کاربرد تصویرهای متعامد در نظریه بیز

یکی از نخستین مسائل علم آمار برآورد یک کمیت نامعلوم است . در نظریه تصمیم انتخاب یک قاعده متضمن ضرری است که با تابع مخاطره سنجیده می شود و سعی بر آن است ، قاعده ای انتخاب شود که تابع مخاطرهء آن برای کلیه مقادیر پارامتر حداقل باشد. از آنجائی که چنین قاعده ای در حالت کلی وجود ندارد، سعی می شود قاعده ای را انتخاب کنند که به مفهومی بهترین باشد و یکی از این مفاهیم نااریبی است . نااریبی از قدیمی ترین خواصی است که انتظار می رود یک برآورد کننده داشته باشد. این مفهوم ابتدا توسط گاوس تحت عنوان "عدم اشتباه سیستماتیک " معرفی شد. بعدها با معرفی نظریه تصمیم مفهوم نا اریبی بر اساس تابع ضرر با نام ریسک -نااریبی توسعه یافت . همچنین یکی دیگر از مفاهیم نظریه تصمیم بیز بودن یک برآورد کننده می باشد. در ریسک نااریبی وبیز هدف حداقل کردن تابع مخاطره است با این تفاوت که در ریسک - نااریبی نقش برآورده کننده با پارامتر عوض شده است . حال مثلا" اگر تابع ضرر به صورت مربع اشتباهات باشد در این صورت آمارشناس می خواهد قاعده ای را انتخاب کند که فاصله برآورد کننده از برآورد شونده حداقل شود. با این تفاوت که در بیز حداقل کردن روی قواعد تصمیم و در ریسک - نااریبی روی توابع پارامتر انجام می گیرد. از طرفی حداقل کردن فاصله در یک فضای هیلبرت توسط روش تصویر کردن متعامد انجام می شود. (خواص مربوط به تصویرهای متعامد و خلاصه ای از نظریه تصمیم مبحثی است که فصل اول به آن اختصاص یافته است)سئوالی که پیش می آید این است که "آیا یک برآورد کننده بیز می تواند ریسک - نااریب باشد"؟ بیکل و بلکول در سال 1967 نشان دادند که در حالت کلی پاسخ به سئوال فوق منفی است . ما در فصل دوم با استفاده از خواص تصویر کردن متعامد این مطلب را ثابت کرده و نشان می دهیم در بعضی حالات با استفاده از روش "جکنایف " می توان اریبی برآورد کننده های بیز را کم کرد در حالیکه برآورد کننده های حاصله هنوز با پیشین مناسب بیز هستند. پس از معرفی خواص تصویر کردن متعامد و توجه به این نکته که اساس آنالیز واریانس در جداول چند بعدی تجزیه بردار مشاهدات به مجموع چند بردار متعامد می باشد، این سئوال پیش می آید که "آیا همین تجزیه را می توان برای مسئله تصمیم انجام داد"؟ برای این منظور در فصل سوم روشهای بیزی لگ - خطی را برای آنالیز جداول چند بعدی توضیح می دهیم. در روش فوق لگاریتم را به صورت ترکیب خطی از اثرات سطر، ستون و متقابل نوشته و با قراردادن پیشین روی اثرات مختلف سعی می شود تحت شرایطی برآوردهائی برای اثرات مختلف بدست آورد. ما در فصل 4 نشان می دهیم که تحت شرایطی روی اثرات مختلف شبیه به روش لگ - خطی می توان با قرار دادن پیشین روی برآوردهای اثرات مختلف را بدست آورد.